Question

函數y=f （x ）=-x³+ax²+b（a，b∈R ），
（Ⅰ）要使y=f（x）在（0，1）上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a＞0時，若函數滿足y_極小值=1，y_極大值=，求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）若x∈[0，1]時，y=f（x）圖象上任意一點處的切線傾斜角為θ，求當0≤θ≤時a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ），
要使f（x）在(0，1)上單調遞增，
則x∈(0，1)時，f′（x）≥0恒成立，
∴≥0，
即當x∈(0，1)時，≥恒成立，
∴≥，即a的取值范圍是[∞。
（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0或=，
∵a＞0，∴當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

∴y_極小值=f（0）=b=1，y_極大值==+·+1=，
∴b=1，a=1，
故f（x）=。
（Ⅲ）當x∈[0，1]時，tanθ=，
由θ∈[0，]，得0≤f′（x）≤1，
即x∈[0，1]時，0≤≤1恒成立，
當x=0時，a∈R，
當x∈(0，1]時，由≥0恒成立，
由(Ⅰ)知≥，
由≤1恒成立，a≤(3x+)，
∴≤(等號在=時取得)；
綜上，≤≤。