Question

4、定義在R上的函數y=f（x），對任意x₁，x₂都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），判斷函數y=f（x）的奇偶性并證明．

Answer 1

分析：賦值求出f（0）=0，再令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）構造出f（-x）與f（x）的方程研究其間的關系，得出奇偶性，解答本題時注意做題格式，先判斷后證明．

解答：解：f（x）為奇函數
證明：∵定義在R上的函數y=f（x），對任意x₁，x₂都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）．解得f（0）=0．
令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數．

點評：本題主要考查了抽象函數的奇偶性的判定，以及賦值法的應用，屬于基礎題．