【題目】已知
,
.
（1）若對任意的實數
，恒有
，求實數
的取值范圍；
（2）當
時，求證：方程
恒有兩解.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)詳見解析．
【解析】試題分析：（Ⅰ）轉化為關于
的二次不等式
，進而得
，令
，利用導數求解函數
的單調性與最值，即可求解實數
的取值范圍；
（Ⅱ）方程
化為
，令
，利用導數求得函數
的單調性與最值，得到
在
和
各有一個零點，即可得方程恒有兩解．
試題解析：
（Ⅰ）要使f(x)＜g(x)恒成立，即使
成立，
整理成關于a的二次不等式
，
只要保證△＜0，
，
整理為
，
（i）
下面探究（i）式成立的條件，令
，
，
，當
時，
，
單調遞減；當
時，，單調遞增，x=1時有最小值
，
，
，
．
實數b 的取值范圍是（－1,2）．
（Ⅱ）方程
化為
，
令
，
，
在（0，＋∞）上單調遞增，
，
，
存在
使
，即
，
，在
上單調遞減，在
上單調遞增， 在
處取得最小值．
，
，
＜0，
，
，在
和各有一個零點，故方程恒有兩解．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出一個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲得一等獎；若只有1個紅球，則獲得二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中或一等獎的次數為
，求的分布列、數學期望和方差.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知中心為坐標原點、焦點在坐標軸上的橢圓
經過點
和點
，直線
：
與橢圓交于不同的
，
兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若橢圓上存在點
，使得四邊形
恰好為平行四邊形，求直線與坐標軸圍成的三角形面積的最小值以及此時
，
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業為了解下屬某部門對本企業職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間為
（1）求頻率分布直方圖中
的值；
（2）估計該企業的職工對該部門評分不低于80的概率；
（3）從評分在
的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在正方體上任意選擇
個頂點，然后將它們兩兩相連，則可能組成的幾何圖形為_________（寫出所有正確結論的編號）.
①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
是橢圓
的四個頂點，菱形
的面積與其內切圓面積分別為
， 
.橢圓
的內接
的重心(三條中線的交點)為坐標原點
.
(1)求橢圓
的方程；
(2) 
的面積是否為定值?若是，求出該定值，若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知平面
平面
平面
，且
位于
與之間.點
，
，
，
，
.
（1）求證：
.
（2）設AD與CF不平行，且A，B，C，D為定點，與間的距離為
，與間的距離為h.當
的值是多少時，
的面積最大？
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