Question

【題目】已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，直線：與橢圓交于不同的，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓上存在點(diǎn)，使得四邊形恰好為平行四邊形，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值以及此時(shí)，的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），，.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法將兩點(diǎn)代入橢圓方程即可求得結(jié)果

（2）由于四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，解得與的關(guān)系，根據(jù)直線方程得到三角形面積，利用均值不等式求得最值

（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為（，，且）.

解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意可設(shè)，.

聯(lián)立

整理得.

.

根據(jù)韋達(dá)定理得

因?yàn)樗倪呅?/span>恰好為平行四邊形，

所以.

所以，

.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

整理得，即.

在直線：中，由于直線與坐標(biāo)軸圍成三角形，則，.

令，得，令，得.

所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為

，

當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號(hào)，此時(shí).

所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為.

此時(shí)，，.