Question

【題目】已知函數.

（1）若函數與函數在點處有共同的切線，求的值；

（2）證明： ；

（3）若不等式對所有， 都成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)t=2；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：

(1)由題意可知： ，據此得到關于實數t的方程，解方程可得：t=2；

(2)構造新函數，結合導函數討論函數的最大值即可證得題中的結論；

(3)將原問題轉化為對所有的， 都成立，討論函數， 的性質，結合函數的性質可得實數的取值范圍是.

試題解析：

（1）， ，

∵與在點處有共同的切線，

∴，即.

（2）令，則，

則在上是增函數，在上是減函數，

∴的最大值為，∴的最小值是1.

設， ，

故在上是增函數，在上是減函數，故，

∴.

（3）不等式對所有的， 都成立，

則對所有的， 都成立，

令， ， 是關于的一次函數，

∵，∴，∴當時， 取得最小值，

即，當時，恒成立，故.