Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+ =0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線L：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點，且kOAkOB=﹣ ，求證：△AOB的面積為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由題意得 a2=4，b2=3．
∴橢圓的方程為： ；
（Ⅱ）證明：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則A，B的坐標滿足 ，消去y化簡得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
，
由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
= = ．
∵ = ，
∴ ，即 ．
∴ ，即2m2﹣4k2=3．
∵ =
= ．
又O點到直線y=kx+m的距離d= ，
∴ =
= = 為定值
【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率等于 ，原點O到直線 的距離等于b及隱含條件c2=a2﹣b2聯立方程組求解a2 ， b2的值，則橢圓C的標準方程可求；
（Ⅱ）聯立直線方程和橢圓方程，消去y后利用根與系數關系得到A，B兩點的橫縱坐標的和與積，由弦長公式求得|AB|，由點到直線的距離公式求得O到AB的距離，代入三角形的面積公式證得答案．