Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，前n項和為S_n，且滿足2S_n＝＋n－4.
(1)求證{a_n}為等差數列；
(2)求{a_n}的通項公式．

Answer 1

（1）見解析  （2）a_n＝n＋2.

解：(1)證明：當n＝1時，
有2a₁＝＋1－4，即－2a₁－3＝0，
解得a₁＝3(a₁＝－1舍去)．
當n≥2時，有2S_n－1＝＋n－5，
又2S_n＝＋n－4，
兩式相減得2a_n＝－＋1，
即－2a_n＋1＝，
也即(a_n－1)²＝，
因此a_n－1＝a_n－1或a_n－1＝－a_n－1.
若a_n－1＝－a_n－1，則a_n＋a_n－1＝1，
而a₁＝3，
所以a₂＝－2，這與數列{a_n}的各項均為正數相矛盾，
所以a_n－1＝a_n－1，即a_n－a_n－1＝1，
因此{a_n}為等差數列．
(2)由(1)知a₁＝3，d＝1，所以數列{a_n}的通項公式a_n＝3＋(n－1)＝n＋2，即a_n＝n＋2.