Question

已知a為實數，數列{a_n}滿足a₁=a，當n≥2時，an=

an-1-3     (an-1＞3) 4-an-1    (an-1≤3)

，
（1）當a=100時，填寫下列列表格：

n	2	3	35	100
an

（2）當a=100時，求數列{a_n}的前100項的和S₁₀₀；
（3）令bn=

an

(-2)n

，Tn=b1+b2+…+bn，求證：當1＜a＜

4

3

時，Tn＜

4-3a

3

．

Answer 1

分析：解：（1）當a=100時，由題意知數列{a_n}的前34項成首項為100，公差為-3的等差數列，從第35項開始，奇數項均為3，偶數項均為1，由此能完成表格．
（2）當a=100時，由題意知數列{a_n}的前34項成首項為100，公差為-3的等差數列，從第35項開始，奇數項均為3，偶數項均為1，從而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一組共34項，后一組共66項），由此能求出結果．    
（3）當1＜a＜

4

3

時，因為an=

a，n為奇數 4-a，n為偶數

，所以bn=

an

(-2)n

=

- a 2 n ，n為奇數 4-a 2n ，n為偶數

，由此能夠證明當1＜a＜

4

3

時，Tn＜

4-3a

3

．

解答：解：（1）

n	2	3	35	100
an	97	94	3	1

（2）當a=100時，由題意知數列{a_n}的前34項成首項為100，公差為-3的等差數列，從第35項開始，奇數項均為3，偶數項均為1，
從而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一組共34項，后一組共66項）
=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

=1717+132
=1849．                  
（3）當1＜a＜

4

3

時，因為an=

a，n為奇數 4-a，n為偶數

，
所以bn=

an

(-2)n

=

- a 2 n ，n為奇數 4-a 2n ，n為偶數

，
當n=2k，k∈N^*時，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k
=-

a

2

+

4-a

22

-

a

23

+

4-a

24

+…-

a

22k-1

+

4-a

22k

=-(

a

2

+

a

23

+…+

a

22k-1

)+(

4-a

22

+

4-a

24

+…+

4-a

22k

)
=-

a 2 [1-( 1 4 )k ]

1- 1 4

+

4-a 4 [1-( 1 4 )k ]

1- 1 4

=

4-3a

3

[1-(

1

4

)k]．
因為1＜a＜

4

3

，所以

4-3a

3

[1-(

1

4

)k]＜

4-3a

3

，
當n=2k-1，k∈N^*時，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1
=-

a

2

+

4-a

22

-

a

23

+

4-a

24

+…-

a

22k-1

＜-

a

2

+

4-a

22

-

a

2 3

+

4-a

24

+…-

a

22k-1

+

4-a

22k

＜

4-3a

3

．
所以Tn＜

4-3a

3

．

點評：本題考查數列與函數的綜合運用．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．本題的易錯點是不區分n的奇偶性，導致出錯．