Question

已知a為實數，數列{a_n}滿足a₁=a，當n≥2時，an=

an-1-3，(an-1＞3) 4-an-1，(an-1≤3)

，
（Ⅰ）當a=100，時，求數列{a_n}的前100項的和S₁₀₀；
（Ⅱ）證明：對于數列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3；
（Ⅲ）令bn=

an

2n-(-1)n

，當2＜a＜3時，求證：

n

i=1

bi＜

20+a

12

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=100時，由題意知數列{a_n}的前34項成首項為100，公差為-3的等差數列，從第35項開始，奇數項均為3，偶數項均為1，由此能求出S₁₀₀．
（Ⅱ）當0＜a₁≤3時，題意成立．當a₁＞3時，a_n=a₁-3（n-1）．設a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），則當n=k+1時，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．命題成立．當a₁≤0時，a₂=4-a₁＞3，命題成立．由此能夠證明原命題成立．
（Ⅲ）當2＜a＜3時，由an=

a 4-a

(n為奇數) (n為偶數)

，知bn=

an

2n-(-1)n

=

a 2n-(-1)n ，n為奇數 4-a 2n-(-1)n ，n為偶數

．因為b_n＞0，所以只要證明當n≥3時不等式成立即可．由此能夠證明

2k-1

i=1

bi＜

2k

i=1

bi＜

20+a

12

．

解答：解：（Ⅰ）a=100時，
∵a₁=100，當n≥2時，an=

an-1-3，(an-1＞3) 4-an-1，(an-1≤3)

，
∵a₁=100，a₂=97，…，a₃₃=4，a₃₄=1，a₃₅=3，a₃₆=1，a₃₇=3，…，a₁₀₀=1，
∴a=100時，
數列{a_n}的前34項成首項為100，公差為-3的等差數列，
從第35項開始，奇數項均為3，偶數項均為1，
從而S₁₀₀=

(100+97+94+…+4+1)

共34項

+

(3+1+…+3+1)

共66項

…（3分）
=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

=1717+132=1849．…（5分）
（Ⅱ）證明：①若0＜a₁≤3，則題意成立…（6分）
②若a₁＞3，此時數列{a_n}的前若干項滿足a_n-a_n-1=3，
即a_n=a₁-3（n-1）．
設a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
則當n=k+1時，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
從而此時命題成立…（8分）
③若a₁≤0，由題意得a₂=4-a₁＞3，
則由②的結論知此時命題也成立．
綜上所述，原命題成立…（10分）
（Ⅲ）當2＜a＜3時，
因為an=

a 4-a

(n為奇數) (n為偶數)

，
所以bn=

an

2n-(-1)n

=

a 2n-(-1)n ，n為奇數 4-a 2n-(-1)n ，n為偶數

．…（11分）
因為b_n＞0，
所以只要證明當n≥3時不等式成立即可．
而b2k-1+b2k=

a

22k-1+1

+

4-a

22k-1

=

a•22k-1+22k+1+(4-2a)

(22k-1+1)(22k-1)

＜

a•22k-1+22k+1

24k-1+22k-1-1

＜

a•22k-1+22k+1

24k-1

=

a+4

22k

…（13分）
①當n=2k（k∈N^*，且k≥2）時，

2k

i=1

bi=b1+b2+

2k

i=3

bi＜

a

3

+

4-a

3

+(

a+4

22×2

+

a+4

22×3

+…+

a+4

22×k

)
=

4

3

+(a+4)×

1 24 (1-( 1 4 )k-1)

1- 1 4

=

4

3

+

(a+4)×(1-( 1 4 )k-1)

12

＜

4

3

+

a+4

12

=

20+a

12

．…（15分）
②當n=2k-1（k∈N^*且k≥2）時，
由于b_n＞0，所以

2k-1

i=1

bi＜

2k

i=1

bi＜

20+a

12

．
綜上所述，原不等式成立…（16分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．