Question

已知a為實數，數列{a_n}滿足a₁=a，當n≥2時an=

an-1-3，(an-1＞3) 4-an-1，(an-1≤3)

，
（Ⅰ）當a=100時，求數列{a_n}的前100項的和S₁₀₀；
（Ⅱ）證明：對于數列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=100代入，先利用數列的遞推關系式求出數列的各項的特點，再分組求和即可；
（Ⅱ）先對a₁=a的取值分：①若0＜a₁≤3；②若a₁＞3兩種情況分別求出數列各項的規律，即可證明結論．

解答：解：（1）當a=100時，由題意知數列a_n的前34項成首項為100，公差為-3的等差數列，
從第35項開始，奇數項均為3，偶數項均為1，
從而S₁₀₀=（100+97+94+…+1）+（3+1+3+1+…+3+1）=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

=1717+132=1849．
（2）證明：①若0＜a₁≤3，則題意成立；
②若a₁＞3，此時數列a_n的前若干項滿足a_n-a_n-1=3，即a_n=a₁-3（n-1）．
設a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
則當n=k+1時，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
從而，此時命題成立．
綜上：對于數列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

點評：本題的第一問主要考查數列求和的分組求和法．關鍵點在于利用遞推關系式求出數列的各項的特點，再分組求和即可．