Question

經過拋物線y²=4x的焦點的弦中點軌跡方程是 ________．

Answer 1

y²=2x-2
分析：先根據拋物線方程求得焦點坐標，進而設出過焦點弦的直線方程，與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理表示出x₁+x₂，進而根據直線方程求得y₁+y₂，進而求得焦點弦的中點的坐標的表達式，消去參數k，則焦點弦的中點軌跡方程可得．
解答：由題知拋物線焦點為（1，0）
設焦點弦方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達定理：
x₁+x₂=
所以中點橫坐標：x==
代入直線方程
中點縱坐標：
y=k（x-1）=．即中點為（，）
消參數k，得其方程為
y²=2x-2
故答案為：y²=2x-2
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．涉及弦的中點的時候，常需要把直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理設而不求．