Question

已知直線l經過拋物線y²=4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點．
（1）若|AF|=4，求點A的坐標；
（2）設直線l的斜率為k，當線段AB的長等于5時，求k的值．
（3）求拋物線y²=4x上一點P到直線2x-y+4=0的距離的最小值．并求此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），則|AF|=x₁+

p

2

，求出x₁，代入y²=4x，即可求點A的坐標；
（2）直線l的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯立，利用|AB|=x₁+x₂+p=5，即可求k的值．
（3）設P（x，y），求出P到直線2x-y+4=0的距離，利用配方法求最值．

解答：解：由y²=4x，得p=2，其準線方程為x=-1，焦點F（1，0）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）|AF|=x₁+

p

2

，從而x₁=4-1=3．代入y²=4x，得y=±2

3

．
所以點A為（3，2

3

）或（3，-2

3

）
（2）直線l的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯立，消去y，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0（*），
因為直線與拋物線相交于A、B兩點，則k≠0，
設其兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=2+

4

k2

．
由拋物線的定義可知，|AB|=x₁+x₂+p=4+

4

k2

=5，解得k=±2；
（3）設P（x，y），則P到直線2x-y+4=0距離為d=

|2x-y+4|

5

=

| y2 2 -y+4|

5

=

| 1 2 (y-1)2+ 7 2 |

5

∴y=1時，P到直線2x-y+4=0距離的最小值為

7 5

10

，此時P（0.25，1）．

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查點到直線的距離的運用，考查配方法，正確運用點到直線的距離公式是關鍵．