Question

【題目】已知橢圓的離心率是，且過點.直線與橢圓相交于兩點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求的面積的最大值；

（Ⅲ）設直線， 分別與軸交于點， .判斷， 大小關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意求得 ，所以橢圓的方程為．

(2) 聯立直線與橢圓的方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達式，當且僅當時， ．即的面積的最大值是．

(3)結論為．利用題意有．所以．

試題解析：

解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為．

因為橢圓的離心率是，

所以 ， 即 ．

由 解得

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）將代入，

消去整理得．

令，解得．

設．

則， ．

所以

．

點到直線的距離為．

所以的面積

，

當且僅當時， ．

所以的面積的最大值是．

（Ⅲ）．證明如下：

設直線， 的斜率分別是， ，

則．

由（Ⅱ）得

，

所以直線， 的傾斜角互補．

所以，

所以．

所以．