Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ ．
（1）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）當a=16時，判斷f（x）在x∈（0，2]上的單調性并用定義證明；
（3）試判斷方程x3﹣2016x+16=0在區間（0，+∞）上解的個數并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱．

①a=0時，f（﹣x）=x2=f（x），∴f（x）是偶函數．

②a≠0時，f（﹣x）≠±f（x），∴f（x）是非奇非偶函數

（2）解：當a=16時，f（x）=x2+ ，任取0＜x1＜x2≤2，

則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ =（x1﹣x2） ，

∵0＜x1＜x2≤2，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，0＜x1+x2＜4．

∴（x1﹣x2） ＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在x∈（0，2]上是單調遞減函數

（3）解：結論：方程在（0，+∞）上共有兩個解．

證明：當a=16時，任取2≤x1＜x2，則同理可證f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在[2，+∞）上是單調遞增函數．

∴x3﹣2016x+16=0在的解即為方程x2+ ﹣2016=0，x∈（0，+∞）的解．

令g（x）=f（x）﹣2016，

∴當x∈（0，2）時，由 =16000+ ＞2016得 ＞0．

且f（2）=12＜2016得g（2）＜0，

又g（x）的圖象在x∈（0，2]的解上是不間斷的曲線，由零點存在定理知函數在x∈[0，2]上有一個零點，又由g（x）在x∈（0，2]上是單調遞減函數，所以函數在[0，2]上只有一個零點．

當x∈（2，+∞）時，由f（2）=12＜2016，且f（1000）＞0且f（x）在x∈[2，+∞）上是單調遞增函數得g（2）＜0，

g（1000）＞0，g（x）的圖象在（2，+∞）上是不間斷的曲線，

由零點存在定理知函數在x∈[2，+∞）有一個零點，又由g（x）在x∈（2，+∞）調遞增知函數在x∈（2，+∞）只有一個零點

【解析】（1）對a分類討論，計算f（﹣x）與±f（x）的關系即可判斷出奇偶性．（2）當a=16時，f（x）=x2+ ，任取0＜x1＜x2≤2，作差f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2） ，判斷符號即可證明．（3）利用函數的單調性、函數零點判定定理即可得出．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能正確解答此題．