Question

【題目】（1）若函數的圖象在處的切線垂直于直線，求實數的值及直線的方程；

（2）求函數的單調區間；

（3）若，求證： .

Answer 1

【答案】（1） , ；（2）當時， 的單調遞增區間是；當時， 的單調遞增區間是，單調遞減區間是；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，根據切線的斜率求出的值，從而求出函數的切點，點斜式求出切線方程即可；（2）求出，分別令 得增區間， 得減區間；（3）由時， ，在上單調遞減，得到，從而證明結論.

試題解析：（1）∵（），定義域為，∴

∴函數的圖象在處的切線的斜率

∵切線垂直于直線，∴，∴

∴， ，∴切點為

∴切線的方程為，即.

（2）由（1）知： ，

當時， ，此時的單調遞增區間是；

當時，

若，則；若，則

此時的單調遞增區間是，單調遞減區間是

綜上所述：

當時， 的單調遞增區間是；

當時， 的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（3）由（2）知：當時， 在上單調遞減

∴時，

∴時， ，即.