Question

設G為△ABC的重心，過G的直線l分別交△ABC的兩邊AB、AC于P、Q，已知

AP

=λ

AB

，

AQ

=μ

AC

，△ABC和△APQ的面積分別為S、T．
（1）求證：

1

λ

+

1

μ

=3；
（2）求

T

S

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設

AB

=

c

，

AC

=

b

連接AG并延長AG交BC于M，此時M是BC的中點．于是

AM

=

1

2

（

AB

+

AC

）=

1

2

（

b

+

c

）   
 

AG

=

1

3

（

b

+

c

）因為P、G、Q三點共線，建立關于參數的等式，消去參數t即得結論；
（2）由于△APQ與△ABC有公共角，則

T

S

=

| AP |×| AQ |

| AB |×| AC |

=λμ，由題設有1≤

1

λ

≤2，

1

λ

+

1

μ

=3將

T

S

表示成關于λ的函數解析式，利用函數的最值問題即可求出

T

S

的取值范圍．

解答：解：（1）設

AB

=

c

，

AC

=

b

連接AG并延長AG交BC于M，此時M是BC的中點．
于是

AM

=

1

2

（

AB

+

AC

）=

1

2

（

b

+

c

）   
 

AG

=

1

3

（

b

+

c

）
又由已知

AP

=λ

AB

=λ

c

．

AQ

=μ

AC

=μ

b

．
∴

PQ

=

AQ

-

AP

=μ

b

-λ

c

c

PG

=

AG

+

PA

=

1

3

（

b

+

c

）-λ

c

=（

1

3

-λ） 

c

+

1

3

b

因為P、G、Q三點共線，則存在實數t，滿足

PG

=t

PQ

所以（

1

3

-λ） 

c

+

1

3

b

=tμ

b

-tλ

c

由向量相等的條件得   

1 3 -λ=-tλ 1 3 =tμ.

消去參數t得，

1 3 -λ

1 3

=-

λ

μ

，
即

1

λ

+

1

μ

=3．…（6分）
（2）由于△APQ與△ABC有公共角，則

T

S

=

| AP |×| AQ |

| AB |×| AC |

=λμ，
由題設有0＜λ≤1，0＜μ≤1，于是

1

λ

≥1，

1

μ

≥1，
∵

1

λ

=3-

1

μ

≤2，∴1≤

1

λ

≤2，
∵

1

λ

+

1

μ

=3∴μ=

λ

3λ-1

T

S

=λμ=

λ2

3λ-1

=

1

- 1 λ2 +3 1 λ

=

1

-( 1 λ - 3 2 )2+ 9 4

…（12分）
∵1≤

1

λ

≤2，∴當

1

λ

=

3

2

時，-（

1

λ

-

3

2

）²+

9

4

有最大值

9

4

，
λ=1或2時，-（

1

λ

-

3

2

）²+

9

4

有最小值2．
∴

T

S

的取值范圍為[

4

9

，

1

2

]．…14

點評：本題考查的知識點是向量的線性運算性質及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，其中根據向量共線，根據共線向量基本定理知，存在實數λ，使得

PG

=t

PQ

，進而得到x，y的關系式，是解答本題的關鍵．