Question

設G為△ABC的重心，

3

|BC|

GA

+2|CA|

GB

+2

3

|AB|

GC

=

0

，則

AB • BC

BC • AC

的值=

-

1

3

．

Answer 1

分析：欲求

AB • BC

BC • AC

的值，由于

AB • BC

BC • AC

=

-c•cosB

bcosC

，故須求出三角形的內角及邊的比值，設出三角形的三邊分別為a，b，c，根據由G為三角形的重心，根據中線的性質及向量的加法法則分別表示出

GA

，

GC

和

GB

，代入化簡后的式子中，然后又根據

CA

等于

CB

加

BA

，把上式進行化簡，最后得到關于

BA

和

BC

的關系式，由

BA

和

BC

為非零向量，得到兩向量前的系數等于0，列出關于a，b及c的方程組，不妨令b=

3

，，即可求出a與b的值，然后根據余弦定理表示出cosB，把a，b，c的值代入即可求出cosB的值，同理求得cosC即得．

解答：解：因為

3

|BC|

GA

+2|CA|

GB

+2

3

|AB|

GC

=

0

設三角形的邊長順次為a，b，c，根據正弦定理得：

3

a

GA

+2b

GB

+2

3

c

GC

=

0

，
由點G為三角形的重心，根據中線的性質及向量加法法則得：
3

GA

=

BA

+

CA

，3

GB

=

CB

+

AB

，3

GC

=

AC

+

BC

，
代入上式得：

3

a（

BA

+

CA

）+2b（

AB

+

CB

）+2

3

c（

AC

+

BC

）=

0

，
又

CA

=

CB

+

BA

，上式可化為：

3

a（2

BA

+

CB

）+2b（

AB

+

CB

）+2

3

c（-

BA

+2

BC

）=

0

，
即（2

3

a-2b-2

3

c）

BA

+（-

3

a-2b+4

3

c）

BC

=

0

，
則有

2 3 a-2b-2 3 c=0①  - 3 a-2b+4 3 c=0②

，令b=

3

，解得：

a=2 c=1

，
所以cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

22+12- 3 2

2×2×1

=

1

2

，
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

22+ 3 2-12

2×2× 3

=

3

2

，
∴

AB • BC

BC • AC

=

| AB |• |BC |cos(π-B)

| BC |•| AC |cosC

=

-c•cosB

bcosC

=

-1• 1 2

3 × 3 2

=-

1

3

故答案為：-

1

3

點評：此題考查學生靈活運用向量在幾何中的應用、余弦定理化簡求值，掌握向量的加法法則及中線的性質，是一道中檔題．