Question

在數列{a_n}中，（c為常數，n∈N*，n≥2），又a₁，a₂，a₅成公比不為l的等比數列．
（I）求證：{}為等差數列，并求c的值；
（Ⅱ）設{b_n}滿足，證明：數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得a_n≠0，由已知可得可證數列{}是等差數列，結合等差數列的 通項公式可求，進而可求a_n，然后由a₁，a₂，a₅成公比不為l的等比數列可求c
（II）由（I）可求a_n，進而可求b_n，利用裂項法可求S_n，即可證明
解答：（I）證明：若a_n=0，（n≥2）則，則a_n-1=0與a₁=1矛盾
∴a_n≠0
∵
∴
∴數列{}是以c為公差，以=1為首項的等差數列
∴
∴
∴
∵又a₁，a₂，a₅成公比不為l的等比數列
∴=a₁a₅
即
解得c=0或c=2
當c=0時，a₁=a₂=a₅，故舍去
∴c=2
（II）∵
∴，=
當n=1時，
當n≥2時，（1）
=（1+）=1-=
點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求解通項公式，等比數列的性質的應用及裂項求和方法的應用，本題中的裂項求和具有一定的難度