Question

一般地，在數列{a_n}中，如果存在非零常數T，使得a_m+T=a_m對任意正整數m均成立，那么就稱{a_n}為周期數列，其中T叫做數列{a_n}的周期．已知數列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），如果x₁=1，x₂=a，（a≤1，a≠0），設S₂₀₀₉為其前2009項的和，則當數列{x_n}的周期為3時，S₂₀₀₉=

1339+a

．

Answer 1

分析：首先要弄清題意中所說的周期數列的含義，然后利用這個定義，針對題目中的數列的周期由題意和周期定義知，先求x₃，再前三項和s₃，最后求s₂₀₀₉．

解答：解：∵x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），
且x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），
∴x₃=|x₂-x₁|=1-a
∴該數列的前3項的和s₃=1+a+（1-a）=2
∵數列{x_n}周期為3，
∴該數列的前2009項的和s₂₀₀₉=s₂₀₀₇+x₁+x₂=

2007

3

s₃+1+a=1339+a，
故答案為1339+a．

點評：本小題主要考查數列具有周期性、數列的前n項和等基礎知識，考查運算求解能力，解答關鍵在于應由題意先求一個周期的和，再求該數列的前n項和s_n．