Question

在數列{a_n}中，a₁=2，an+1=an+ln(1+

1

n

)，則a_n=

 

．

Answer 1

分析：由n=1，2，3，分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，總結規律，猜想出a_n．

解答：解：a₁=2+ln1，
a₂=2+ln2，
a3=2+ln2+ln

3

2

=2+ln3，
a4=2+ln3+ln

4

3

=2+ln4，
由此猜想a_n=2+lnn．
用數學歸納法證明：
①當n=1時，a₁=2+ln1，成立．
②假設當n=k時等式成立，即a_k=2+lnk，
則當n=k+1時，ak+1=ak+ln(1+

1

k

)=2+lnk+

k+1

k

=2+ln(k+1)．成立．
由①②知，a_n=2+lnn．
故答案為：2+lnn．

點評：本題考查數列的遞推式，解題時要注意總結規律合理地進行猜想．