Question

在數列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4且a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；由此歸納出{a_n}，{b_n}的通項公式，并證明你的結論．
（2）若c_n=log₂（

bn

an

），S_n=c₁+c₂+…+c_n，試問是否存在正整數m，使S_m≥5，若存在，求最小的正整數m．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：計算題,證明題,等差數列與等比數列

分析：（1）由題意，2b_n=a_n+a_n+1，a²_n+1=b_nb_n+1，從而寫出a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；利用數學歸納法證明通項公式；
（2）由題意，c_n=log₂（

bn

an

）=log₂

n+1

n

，化簡S_n=c₁+c₂+…+c_n=log₂

2

1

+log₂

3

2

+…+log₂

n+1

n

=log₂（n+1），從而求m．

解答： 解：（1）由條件可得，2b_n=a_n+a_n+1，a²_n+1=b_nb_n+1，
則由a₁=2，b₁=4，可得，
a₂=6，a₃=12，a₄=20；
b₂=9，b₃=16，b₄=25；
猜想：a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²；
證明如下：
①當n=1時，結論成立；
②假設當n=k時成立，即a_k=k（k+1），b_k=（k+1）²；
則當n=k+1時，
a_k+1=2b_k-a_k=2（k+1）²-k（k+1）=（k+2）（k+1），
b_k+1=a²_k+1÷b_k=（k+2）²（k+1）²÷（k+1）²=（k+2）²；
故a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²對一切正整數n都成立．
（2）∵c_n=log₂（

bn

an

）=log₂

n+1

n

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=log₂

2

1

+log₂

3

2

+…+log₂

n+1

n

=log₂（n+1），
則S_m≥5可化為log₂（m+1）≥5，
則m≥31，
故存在正整數m，且最小的正整數m為31．

點評：本題考查了合情推理及數學歸納法，同時考查了對數運算及數列的通項公式的求法，屬于中檔題．