Question

如圖，已知點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓交于兩點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由點(diǎn)在橢圓上，知，由，知，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，知，利用點(diǎn)差法得到直線，由此能求出△OMN面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)在橢圓上，
∴，
∵，
∴，解得a=3，∴b=1．
∴橢圓的方程為=1．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵，
∴，
設(shè)直線，
由，得：4y²-6ny+3n²-1=0
則，
∴，
點(diǎn)O到直線l的距離d=，
∴S=
=
≤=．
當(dāng)且僅當(dāng)3n²=4-3n²，n=±．
∵m∈（0，2），∴m=．
∴當(dāng)m=時(shí)，△OMN面積的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)差法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．