Question

如圖，已知點(diǎn)A是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)C(

3

2

，

3

2

)在橢圓上，且滿足

OC

•

OA

=

3

2

．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓交于兩點(diǎn)M，N，當(dāng)

OM

+

ON

=m

OC

，m∈(0，2)時(shí)，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)C(

3

2

，

3

2

)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，知

3

4a2

+

3

4b2

=1，由

OC

•

OA

=

3

2

，知

3

2

a=

3

2

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

OM

+

ON

=m

OC

，知

x1+x2= 3 2 m y1+y2= 3 2 m

，利用點(diǎn)差法得到直線l：y=-

1

3

x+n，由此能求出△OMN面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)C(

3

2

，

3

2

)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，
∴

3

4a2

+

3

4b2

=1，
∵

OC

•

OA

=

3

2

，
∴

3

2

a=

3

2

，解得a=3，∴b=1．
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵

OM

+

ON

=m

OC

，
∴

x1+x2= 3 2 m y1+y2= 3 2 m

，

x12 3 + y12 1 =1 x22 3 + y22 1 =1

⇒

(x1+x2)(x1-x2)

3

+(y1+y2)(y1-y2)=0⇒

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

設(shè)直線l：y=-

1

3

x+n，
由

y=- 1 3 x+n   x2 3 + y2 1 =1

，得：4y²-6ny+3n²-1=0
則y1+y2=

3n

2

y1y2=

3n2-1

4

，
∴|MN|=

(1+9)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

10(1- 3 4 n2)

，
點(diǎn)O到直線l的距離d=

|3n|

10

，
∴S=

1

2

•

10

2

•

4-3n2

•

3

10

•|n|
=

3

4

•

3n2(4-3n2)

≤

3

4

•

3n2+4-3n2

2

=

3

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)3n²=4-3n²，n=±

6

3

．
∵m∈（0，2），∴m=

2

．
∴當(dāng)m=

2

時(shí)，△OMN面積的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)差法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．