Question

已知拋物線C：y²=4x，F是C的焦點，過焦點F的直線l與C交于 A，B兩點，O為坐標原點．
（1）求

OA

•

OB

的值；
（2）設

AF

=λ•

FB

，求△ABO的面積S的最小值；
（3）在（2）的條件下若S≤

5

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可設l的方程x=my+1，將其與C的方程聯立，消去x可得y²-4my-4=0．設A、B點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞0＞y₂），由根與系數關系可得x₁x₂和y₁y₂的值，代入數量積公式可得； （2）由

AF

=λ•

FB

，計算可得y₂=-

2

λ

，y₁=2

λ

，代入可得S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

λ

+

1

λ

，由基本不等式可得；（3）可得 

λ

+

1

λ

≤

5

解之即可．

解答：解：（1）根據拋物線的方程可得焦點F（1，0），設直線l的方程為x=my+1，
將其與C的方程聯立，消去x可得y²-4my-4=0．
設A、B點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞0＞y₂），則y₁y₂=-4．
因為y12=4x₁，y22=4x₂，所以x₁x₂=

1

16

y12y22=1，
故

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-3    …（4分）
（2）因為

AF

=λ•

FB

，所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），
即  1-x₁=λx₂-λ①-y₁=λy₂②
又y12=4x₁  ③，y22=4x₂，④，由②③④消去y₁，y₂后，得到x₁=λ²x₂，將其代入①，
注意到λ＞0，解得x₂=

1

λ

．從而可得y₂=-

2

λ

，y₁=2

λ

，故△OAB的面積S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

λ

+

1

λ

因為

λ

+

1

λ

≧2恒成立，故△OAB的面積S的最小值是2…（8分）．
（3）由 

λ

+

1

λ

≤

5

解之得

3- 5

2

≤λ≤

3+ 5

2

  …（12分）

點評：本題考查平面向量數量積的運算，涉及圓錐曲線和基本不等式的應用，屬中檔題．