Question

【題目】已知函數f（x）=x2+x﹣ln（x+a）+3b在x=0處取得極值0． （Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）= x+m在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設可知 ， ∵當x=0時，f（x）取得極值0，
∴ 解得a=1，b=0；
經檢驗a=1，b=0符合題意；
（Ⅱ）由（1）知f（x）=x2+x﹣ln（x+1），
則方程 即為 ，
令 ，
則方程φ（x）=0在區間[0，2]恰有兩個不同實數根．
∵ ；
當x∈（0，1）時，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（0，1）上單調遞減；
當x∈（1，2）時，φ′（x）＞0，于是φ（x）在（1，2）上單調遞增；
依題意有 ，
∴﹣ ﹣ln2＜m≤1﹣ln3
【解析】（Ⅰ）求導 ，從而由題意得 ，從而解得；（Ⅱ）由（1）知f（x）=x2+x﹣ln（x+1），故方程 可化為 ，令 ，從而求導 ；從而根據單調性求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．