Question

【題目】已知定義在R上的函數在[1，2]上有且僅有3個零點，其圖象關于點和直線x對稱，給出下列結論：

①；

②函數f（x）在[0，1]上有且僅有3個極值點；

③函數f（x）在上單調遞增；

④函數f（x）的最小正周期是2．

其中所有正確結論的編號是（ ）

A.②③B.①④C.②③④D.①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

先根據條件求得函數的解析式，再結合三角函數的性質判斷選項即可．

因為曲線關于點（，0）對稱，所以：ω+φ＝k1π；k1∈Z①

又因為其圖象關于直線x對稱，所以：ω+φ＝k2π，k2∈Z；②

由①②可得：ω＝[2（k1﹣k2）﹣1]π，即ω＝（2n﹣1）π，n∈Z；③

因為在[1，2]上有且僅有3個零點，

所以2﹣1，（ω＞0），即2π≤ω＜4π，④；

由③④可得ω＝3π；

∵f（）＝0，∴φ＝kπ，又|φ|，∴φ；

∴f（x）＝sin（3πx）；

所以易知f（）；∴①錯誤；

令3πx0kπ，則x0，（k∈Z）；令01，則可取k＝0，1，2；∴x0，，；∴②正確；

令2kπ≤3πx2kπk≤xk；k∈Z；當k＝﹣2時，[，]為f（x）的一個遞增區間，而（，）[，]．∴f（x）在上單調遞增，③正確；

∵f（x）＝sin（3πx）；∴T；④錯誤．

綜上所述，其中正確的結論為②③；

故選：A．