Question

【題目】已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為，左頂點為A，過點A的直線l與C交于另一個點M，且與直線x＝t交于點N．

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在實數t，使得為定值？若存在，求實數t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）存在，t

【解析】

（1）由題意可得b＝1，運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，可得a，c，進而得到橢圓方程；

（2）假設存在實數t＝t0，使得為定值．可設直線l的方程為y＝k（x+2），M（x0，y0），聯立橢圓的方程，運用韋達定理，求得M的坐標，將t＝t0代入y＝k（x+2），求得N的坐標，再由向量的數量積的坐標表示，結合定值，可得所求值．

（1）由題意可得2b＝2，即b＝1，e，a2﹣b2＝c2，

解得a＝2，c，則橢圓C的方程為y2＝1；

（2）假設存在實數t＝t0，使得為定值．

由題意可得直線l的斜率存在，由A（﹣2，0），可設直線l的方程為y＝k（x+2），M（x0，y0），

聯立，可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，

由韋達定理可得﹣2x0，即x0，y0＝k（x0+2），

即M（，），

將t＝t0代入y＝k（x+2），可得N（t0，k（t0+2）），

則，

若為定值，則，

span>解得t0，此時為定值，

所以存在實數t，使得為定值．