Question

【題目】已知正方體的棱長為，點E，F，G分別為棱AB，，的中點，下列結論中，正確結論的序號是___________.

①過E，F，G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；

②平面EFG；

③平面；

④異面直線EF與所成角的正切值為；

⑤四面體的體積等于.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據公理3,作截面可知①正確;根據直線與平面的位置關系可知②不正確;根據線面垂直的判定定理可知③正確;根據空間向量夾角的坐標公式可知④正確;用正方體體積減去四個正三棱錐的體積可知⑤不正確.

延長EF分別與，的延長線交于N，Q，連接GN交于H，設HG與的延長線交于P，連接PQ交于，交BC于M，連FH，HG，GI，IM，ME,,

如圖:

則截面六邊形EFHGIM為正六邊形，故①正確：

因為與HG相交，故與平面EFG相交，所以②不正確：

(三垂線定理)，

(三垂線定理)，

且AC與相交，

所以平面，故③正確；

以為原點,分別為軸建立空間直角坐標系,

則,

則,,

所以,

所以,

所以,

所以異面直線EF與的夾角的正切值為，故④正確；

因為四面體的體積等于正方體的體積減去四個正三棱錐的體積，

即為，故⑤不正確．

故答案為：①③④