Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點，，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）求點到平面的距離；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）取中點，連接，根據已知條件，可證四邊形為平行四邊形，即可得證結論；

（2）點到平面的距離，即為點到平面的距離，求出，的面積，等體積法，即可求出結論；

（3）由（2）的結論，得出直線與平面所成的角，解直角三角形，即可求解.

（1）證明：取中點，連接，

∵為的中點，∴，且，

又，且，

∴，且，

則，且，

∴四邊形為平行四邊形，∴.

又∵平面.平面，

∴平面.

（2）取的中點，連接，∵，

∴且，∴四邊形是矩形，

∴，又∵平面，∴，

∴平面且，

過點作平面于，

則即為點到平面的距離.

∵，∴，

，∴.

（3）連接由（2）知

即為直線與平面所成的角，

在中，，，∴，

又∵是的中點，

∴，

∴，

所以直線與平面所成角的正弦值為.