Question

【題目】已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．
（1）若h（x）的單調(diào)減區(qū)間是（ ，1），求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）≥g（x）對于定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)h（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1∈（0， ）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），則

要使h（x）的單調(diào)減區(qū)間是 則 ，解得a=3；

另一方面當(dāng)a=3時 ，

由h'（x）＜0解得 ，即h（x）的單調(diào)減區(qū)間是 ．

綜上所述a=3

（2）解：由題意得x2﹣ax≥lnx（x＞0），

∴ ．

設(shè) ，則 ，

∵y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)，且x=1時，y=0．

∴當(dāng)x∈（0，1）時φ'（x）＜0；

當(dāng)x∈（1，+∞）時φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）內(nèi)是減函數(shù)，在（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

∴φmin=φ（1）=1∴a≤φmin=1，即a∈（﹣∞，1]

（3）解：由題意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），則

∴方程2x2﹣ax+1=0（x＞0）有兩個不相等的實根x1，x2，且

又∵ ，

∴ ，且

設(shè) ，則 ，

∴φ（x）在（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，

∴ ，即h（x1）﹣h（x2） ，

∴ ，

則m的最大值為 ．

【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ，1），建立導(dǎo)數(shù)關(guān)系即可，求實數(shù)a的值；（2）將f（x）≥g（x）對于定義域內(nèi)的任意x恒成立，利用參數(shù)分離法求函數(shù)的最值，求實數(shù)a的取值范圍；（3）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，求出函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．