Question

【題目】已知函數f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x﹣2恒成，求整數a的最小值；
（3）若正實數x1 ， x2滿足f（x1）+f（x2）+4（x +x ）+12（x1+x2）=4，證明：x1+x2≥2．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= ﹣6x﹣11，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，

∴切線方程是：y+14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1

（2）解：令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x+2=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x+2，

∴g′（x）= ﹣2ax+（2﹣2a）= ，

a≤0時，∵x＞0，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，

∵g（1）=﹣a+2﹣2a+2=﹣3a+4＞0，

∴關于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x﹣2不能恒成立，

a＞0時，g′（x）= ，

令g′（x）=0，得x= ，

∴x∈（0， ）時，g′（x）＞0，x∈（ ，+∞）時，g′（x）＜0，

故函數g（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減，

故函數g（x）的最大值是g（ ）=2ln + = ﹣2lna≤0，

令h（a）= ﹣2lna，則h（a）在（0，+∞）遞減，

∵h（1）=1＞0，h（2）= ﹣2ln2＜ ﹣2ln ＜0，

∴a≥2時，h（a）＜0，故整數a的最小值是2

（3）解：證明：由f（x1）+f（x2）+4（x +x ）+12（x1+x2）=4，

得2ln（x1x2）+（ + ）+（x1+x2）=4，

從而 +（x1+x2）=2x1x2﹣2ln（x1x2）+4，

令t=x1x2，則由φ（t）=2t﹣2lnt+4，

得φ′（t）= ，可知φ（t）在區間（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

故φ（t）≥φ（1）=6，

∴ +（x1+x2）≥6，

又x1+x2＞0，

故x1+x2≥2成立

【解析】（1）求出函數f（x）的導數，計算f′（1），f（1）的值，求出切線方程即可；（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x+2，求出函數的導數，通過討論a的范圍，根據函數的單調性求出a的最小值即可；（3）得到 +（x1+x2）=2x1x2﹣2ln（x1x2）+4，令t=x1x2 ， 令φ（t）=2t﹣2lnt+4，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．