Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，PD∥AE，PD＝AD＝2EA＝2，G，F，H分別為BE，BP，PC的中點．

（1）求證：平面ABE⊥平面GHF；

（2）求直線GH與平面PBC所成的角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明BC⊥平面ABE，FH∥BC，證得FH⊥平面ABE，即可證得面面垂直；

（2）建立空間直角坐標系，利用向量方法求線面角的正弦值.

（1）由題：，AE⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以AE⊥BC，

四邊形ABCD是正方形，AB⊥BC，AE與AB是平面ABE內兩條相交直線，

所以BC⊥平面ABE，F，H分別為BP，PC的中點，所以FH∥BC，

所以FH⊥平面ABE，HF平面GHF，所以平面ABE⊥平面GHF；

（2）由題可得：DA，DC，DP兩兩互相垂直，所以以D為原點，DA，DC，DP為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示：

，

所以，設平面PBC的法向量，

，取為平面PBC的一個法向量，

所以直線GH與平面PBC所成的角θ的正弦值.