Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，是橢圓上一動點（與左、右頂點不重合）已知的內切圓半徑的最大值為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點，過作軸的垂線交橢圓與另一點（不與重合）.設的外心為，求證為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）當面積最大時，最大，即點位于橢圓短軸頂點時，即可得到的值，再利用離心率求得，即可得答案；

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設直線為，代入橢圓方程得.設，利用弦長公式求得，利用的垂直平分線方程求得的坐標，兩個都用表示，代入中，即可得答案.

（1）由題意知：，∴，∴.

設的內切圓半徑為，

則，

故當面積最大時，最大，即點位于橢圓短軸頂點時，

所以，把代入，解得：，

所以橢圓方程為.

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設直線為，

代入橢圓方程得.

設，則，

所以的中點坐標為，

所以.

因為是的外心，所以是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點，的垂直平分線方程為，

令，得，即，所以

所以，所以為定值，定值為4.