Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，四邊形為矩形，且平面，.

（1）求證：平面；

（2）點在線段上運動，當點在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）在梯形中，設，題意求得,再由余弦定理求得,滿足,得則.再由平面得，由線面垂直的判定可.進一步得到丄平面;（Ⅱ）分別以直線為:軸，軸軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設 ,令 得到的坐標，求出平面的一法向量.由題意可得平面的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得當 時，有最小值為,此時點與點重合.

試題解析：（Ⅰ）證明：在梯形中，∵,設，

又∵,∴,∴

∴.則.

∵平面,平面，

∴,而,∴平面.∵,∴平面.

（Ⅱ）解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，令，

則，

∴

設為平面的一個法向量，

由得，取，則，

∵是平面的一個法向量，

∴

∵，∴當時，有最小值為，

∴點與點重合時，平面與平面所成二面角最大，此時二面角的余弦值為.