Question

【題目】設橢圓:的左右焦點分別為，，上頂點為.

(Ⅰ)若.

(i)求橢圓的離心率;

(ii)設直線與橢圓的另一個交點為，若的面積為，求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)由橢圓上不同三點構成的三角形稱為橢圓的內接三角形，當時，若以為直角頂點的橢圓的內接等腰直角三角形恰有3個，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)(i);(ii);(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)(i)由勾股定理化簡可得，進而可得橢圓的離心率;(ii)易知，故橢圓:，求出直線方程為:，聯立直線與橢圓的方程求出點坐標，計算出，則，得到，進而得出橢圓方程;

(Ⅱ)設橢圓內接等腰直角三角形的兩直角邊分別為，，設，，顯然，不與坐標軸平行，且，設直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式求出，同理得出，化簡可得出關于的方程有兩個不同的正實根，，且都不為1，通過數形結合思想，轉化求解即可.

(Ⅰ)(i)可知，，，

∵，∴，

∴.

∴.

(ii)由(i)知，，

∴橢圓:，

可知直線斜率為1，，，

則直線方程為:，

由，得，

得，，∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，∴，

∴橢圓的方程為:.

(Ⅱ)時，橢圓:，，

設橢圓內接等腰直角三角形的兩直角邊分別為，，

設，，顯然，不與坐標軸平行，且，

所以不妨設直線的方程為，則直線的方程為，

由，消去得到，

所以，，

求得，

同理可求.

因為為以為直角頂點的等腰直角三角形，所以，

所以，

整理得，

所以，

所以或，

所以或，

設，因為以為直角頂點的橢圓內接等腰直角三角形恰有三個，

所以關于的方程有兩個不同的正實根，，且都不為1.

∵，

所以，

解得實數的取值范圍是.