Question

【題目】已知函數f（x）a（x﹣1）2+（x﹣2）ex（a＞0）．

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若關于x的方程f（x）a＝0存在3個不相等的實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2e＜a＜e2或a＞e2．

【解析】

（1）對函數進行求導并因式分解，令，求出根，對兩根大小進行討論，即可得到函數f（x）的單調性；

（2）將因式分解，可知是方程的一個解，因此有2個實數根且，構造函數，求導利用單調性和極值即可得到實數a的取值范圍．

（1），

，由可得或，

（i）當時，，

在上，單調遞增，

在上，單調遞減；

（ii）當時，，在R上恒成立，即在R上單調遞增；

（iii）當時，，

在，上，單調遞增，

在上，單調遞減；

（2）有3個實數根，

顯然是方程的一個解，故0有2個實數根且，

即，

令，則，

當時，單調遞減，

當，單調遞增，

當時，時，取得極小值，，

又，則或．