Question

（2011•崇明縣二模）已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（1，

3

），設函數f（x）=

a

•

b

（1）若x∈[0，π]，求函數f（x）的單調區間；
（2）已知銳角△ABC的三內角A、B、C所對的邊是a、b、c，若有f（A-

π

3

）=

3

，a=

7

，sinB=

21

7

，求c邊的長度．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

a

•

b

=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），結合正弦函數的性質可求函數的單調區間
（2）由f(A-

1

3

π)=

3

可求sinA=

3

2

，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

可求b，而由sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA可求sinC，再由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

可求c
另解同上可得b=2 ）由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA可求c

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

）
單調增區間是[0，

π

6

]   單調減區間是[

π

6

，π]
（2）因f(A-

1

3

π)=

3

  
∴2sinA=

3

∴sinA=

3

2

由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

∴b=

asinB

sinA

=

7 × 21 7

3 2

=2
∵△ABC是銳角三角形，所以cosA=

1

2

，cosB=

2 7

7

∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=

3 21

14

由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

即

7

3 2

=

c

3 21 14

∴c=3
另解
同上可得b=2 （同上）
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA
∴7=4+c2-2×2c×

1

2

∴c²-2c-3=0
∴c=3

點評：本題主要考查了正弦定理與余弦定理及三角形的內角和定理、兩角和的三角公式、同角平分關系等三角公式的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的公式并能靈活應用，屬于綜合性試題