Question

【題目】如圖長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為1，側棱長為2，E、F、G分別為CB1、CD1、AB的中點．
（Ⅰ）求證：FG∥面ADD1A1；
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵ABCD﹣A1B1C1D1是長方體，且底面邊長為1，側棱長為2， 分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則B（1，1，0），F（0， ，1），E（ ，1，1），G（1， ，0），
C（0，1，0），
∴平面ADD1A1的一個法向量為 ．
，
∵ ，且FG平面ADD1A1 ，
∴FG∥面ADD1A1；
（Ⅱ）解： ， ， ．
設平面BEF的一個法向量為 ，
則 ，取y=﹣2，得 ，
平面EFC的一個法向量為 ，
則 ，取y=﹣2，得 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣EF﹣C的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出平面ADD1A1的一個法向量 ，求出 ，由 可得FG∥面ADD1A1；（Ⅱ）分別求出平面BEF與平面EFC的一個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣EF﹣C的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．