Question

【題目】設函數，．

（1）求的極值；

（2）設≤，記在上的最大值為，求函數的最小值；

（3）設函數（為常數），若使≤≤在上恒成立的實數有且只有一個，求實數和的值．

Answer 1

【答案】(1) 當時，有極大值極小值；(2)；(3) ，.

【解析】

試題分析：(1)求函數的導數，由得，分區間列表討論函數的符號與函數的單調性，可求函數的極值； (2) 由(1)知區間上單調遞增，在區間上單調遞減，分與分別求函數的最大值，再計算的最小值即可；(3),構造函數，求函數的導數，通過導數求函數的最小值，由得，又，所以，由的唯一性，可得，.

試題解析： (1)

∴當變化時，可以得到如下表格：

		0	—	0
	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

∴當時，有極大值極小值，

(2)由(1)知區間分別單調增，單調減，單調增，

所以當時，，特別當時，有；

當時，，則，

所以對任意的，

（3）由已知得在上恒成立，

則

∴時，，時，，

故時，函數取到最小值.從而；

在上恒成立，則，

∴時，，時，，

故時，函數取到最小值.從而，

由的唯一性知，.