Question

已知函數f（x）=1+

m

ex+1

，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一個三角形的邊長，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、[-

  1

  2

  ，0]
• B、[0，1]
• C、[1，2]
• D、[-

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可得則f（a）+f（b）＞f（c）對任意的a、b、c∈R恒成立，將f（x）解析式用分離常數法變形，根據函數的單調性求出函數的值域，然后討論m轉化為f（a）+f（b）的最小值與f（c）的最大值的不等式，進而求出實數m的取值范圍．

解答：解：由題意可得，f（a）+f（b）＞f（c）對任意的a、b、c∈R恒成立，
∵函數f（x）=1+

m

ex+1

，故當m=0時，f（x）=1，滿足條件．
∴當m＞0時，函數f（x）在R上是減函數，函數的值域為（1，1+m）；
故f（a）+f（b）＞2，f（c）＜1+m，∴1+m≤2，即 m≤1①．
當m＜0時，函數f（x）在R上是增函數，函數的值域為（1+m，1）；
故f（a）+f（b）＞2+2m，f（c）＜1，∴2+2m≥1，m≥-

1

2

 ②．
由①②可得-

1

2

≤m≤1，
故選：D．

點評：本題主要考查了求參數的取值范圍，以及構成三角形的條件和利用函數的單調性求函數的值域，同時考查了分類討論的思想，屬于難題．