Question

若0＜x₁＜x₂＜1，則（　　）

• A、ex2-ex1＞lnx₂-lnx₁
• B、ex2-ex1＜lnx₂-lnx₁
• C、x₂ex1＞x₁ex2
• D、x₂ex1＜x₁ex2

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：導數的綜合應用

分析：分別設出兩個輔助函數f（x）=e^x+lnx，g（x）=

ex

x

，由導數判斷其在（0，1）上的單調性，結合已知條件0＜x₁＜x₂＜1得答案．

解答：解：令f（x）=e^x+lnx，
f′(x)=ex+

1

x

，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上為增函數，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴ex1+lnx1＜ex2+lnx2，
即ex2-ex1＞lnx1-lnx2．
由此可知選項A，B不正確．
令g（x）=

ex

x

，
g′(x)=

xex-ex

x2

，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）上為減函數，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴

ex1

x1

＞

ex2

x2

，
即x2ex1＞x1ex2．
∴選項C正確而D不正確．
故選：C．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查了函數構造法，解答此題的關鍵在于想到構造兩個函數，是中檔題．