Question

【題目】已知函數．

（）求函數的定義域．

（）判斷在定義域上的單調性，并用單調性定義證明你的結論．

（）求函數的值域．

Answer 1

【答案】（1）定義域為；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由對任意，有，所以定義域為；

（2）設， 且， ，分析得，從而得解；

（3）易得，從而可得，即可得解.

試題解析：

（）顯然對任意，有，∴的定義域為．

（）設， 且，

則，

∵為增函數，且，

∴，且恒成立，

于是，

即，

故是上的減函數．

（）因為，

所以，

所以，

所以，

所以的值域是．

點睛: 證明函數單調性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結論：根據定義得出其單調性.