Question

【題目】如圖，四邊形是平行四邊形，點， ， 分別為線段， ， 的中點．

（）證明平面；

（）證明平面平面；

（）在線段上找一點，使得平面，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）所找的點為與的交點．

【解析】試題分析：（1）由三角形中位線定理可得，由線面平行的判定定理可得平面；（2）先根據線面平行的判定定理可證明平面， 平面，由面面平行的判定定理可得平面平面；（）設， 與分別交于， 兩點，由三角形中位線定理可得，∴平面，即點為所找的點.

試題解析：（ ）證明：∵、分別是， 中點，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

（）證明：∵、分別是、中點，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

又∵，

平面， 平面，

∴平面，

點， ， 平面，

∴平面平面．

（）設， 與分別交于， 兩點，

易知， 分別是， 中點，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

即點為所找的點．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.