Question

【題目】設函數， .

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）如果不等式對于一切的恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：不等式對于一切的恒成立.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）當時， ，利用導函數研究函數的切線方程可得在點處的切線方程為；

（2）原問題等價于恒成立.構造函數， ，則，結合函數的單調性可得，故的取值范圍是；

（3）原問題等價于.構造函數，則.結合(2)的結論可知.故，從而有對于一切的恒成立.

試題解析：

（1）當時， ，則，故，切線方程為： ；

（2）因為，所以恒成立，等價于恒成立.

設， ，得，

當時，，所以　在上單調遞減，

所以　時，.

因為恒成立，所以；

（3）當時， ，等價于.

設，.求導，得.

由（2）可知，時， 恒成立.

所以時， ，有，所以.

所以在上單調遞增，當時，.

因此當時， .