Question

如圖，直角三角形ABC的頂點坐標A（-2，0），直角頂點B（0，-2

2

），頂點C在x軸上，點P為線段OA的中點．
（1）求直線BC的斜率及點C的坐標；
（2）求BC邊所在直線方程；
（3）M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）由經過兩點的斜率公式，可算出直線Ab的斜率kAB=-

2

，從而得出與AB垂直的直線BC的斜率為kCB=

2

2

．由兩點間距離公式算出AB=2

3

，進而在Rt△ABC利用相似三角形算出BC=2

6

且OC=4，由此可得點C的坐標；
（2）根據B、C兩點的坐標，運用直線方程的點斜式列式，再化簡即可得到直線BC方程為y=

2

2

x-2

2

；
（3）根據A、C兩點的坐標算出AC中點M坐標為（1，0），而圓M的半徑R=

1

2

|AC|=3，利用圓方程的標準形式即可寫出圓M的方程為（x-1）²+y²=9．

解答：解：（1）∵A（-2，0），B（0，-2

2

），
∴直線Ab的斜率為kAB=-

2

，
又∵AB⊥BC，∴kCB=

-1

kAB

=

2

2

（3分）
由兩點間距離公式，得AB=

(-2-0)2+(0+2 2 )2

=2

3

，
∵△OAB∽△OBC，得

OA

OB

=

AB

BC

，∴

2

2 2

=

2 3

BC

，可得BC=2

6

，
∴Rt△OBC中，BC²=AC×OC，
即（2

6

）²=（0C+2）•0C，解之得OC=4（舍負），
由此可得點C坐標為（4，0）（7分）
（2）∵B（0，-2

2

），C（4，0）
∴直線BC的斜率k=

0-(-2 2 )

4-0

=

2

2

，
由點斜式方程得直線BC方程為y=

2

2

（x-4），
化簡得y=

2

2

x-2

2

，即為所求BC邊所在直線方程；
（3）由（1）得C（4，0），且A（-2，0）
∴AC中點坐標為（1，0），即圓心M（1，0）
又∵圓M的半徑AM=

1

2

|AC|=3，
∴Rt△ABC外接圓M的方程為（x-1）²+y²=9．（16分）

點評：本題在坐標系中給出Rt△ABC，求點C的坐標、直線BC方程，并求△ABC外接圓M方程．著重考查了直線的斜率、直線的方程和圓的標準方程等知識，屬于中檔題．