Question

（2012•咸陽三模）（考生注意：請在下列三道試題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A．（不等式選做題）若不等式|2a-1|≤ |x+

1

x

|對一切非零實數x恒成立，則實數a的取值范圍為

[-

1

2

，

3

2

]

．
B．（幾何證明選做題）如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD=2，則∠C的大小為

30°

．
C．（極坐標與參數方程選做題）若直線l的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=3

2

，圓C：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數）上的點到直線l的距離為d，則d的最大值為

3

2

+1

．

Answer 1

分析：A．由題意求出|x+

1

x

|的最小值，只要|2a-1|小于等于最小值，即可滿足題意，求出a的范圍即可．
B．先根據已知條件，證得AC是⊙O的切線；然后運用切割線定理求出AC的長．
C．首先把直線和圓的極坐標方程利用兩角差的正弦函數的公式代入x=ρcosθ，y=ρsinθ和化簡為平面直角坐標系中的直線方程，利用三角函數的基本關系及

x=cosθ y=sinθ

化簡得到圓的一般式方程，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后即可求出曲線上P到直線l的距離的最大值．

解答：解：A．∵x與

1

x

同號，∴|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2．（當且僅當x=±1時取“=”）
∴|x+

1

x

|的最小值2
∴2≥|2a-1|，解得a∈[-

1

2

，

3

2

]．
故答案為：[-

1

2

，

3

2

]
B．解：∵AB是⊙O的直徑，由切割線定理，得：AB²=AD•AC，
∵AD=2，AB=4，
∴4²=2×AC，即AC=8．
在直角三角形ABC中，sinC=

AB

AC

=

4

8

=

1

2

則∠C的大小為 30°．
故答案為：30°．
C．解：由ρcos(θ-

π

4

)=3

2

，得：ρ（cosθ+sinθ）=6
∴x-y=6即：x-y-6=0
由

x=cosθ y=sinθ

，得x²+y²=1
∴圓心到直線l的距離d=

6

2

=3

2

所以，P到直線l的距離的最大值為d+r=3

2

+1．
故答案為：3

2

+1．

點評：A．本題考查絕對值不等式的解法，恒成立問題一般通過函數的最值解決，注意端點問題的處理．是高考常考題．
B．解決此題的關鍵是能夠根據AB是圓的切線，再熟練運用切割線定理求解．
C．考查學生會把簡單的極坐標方程轉換為平面直角方程，綜合運用直線與圓方程的能力，以及靈活運用點到直線的距離公式解決數學問題．