Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）對于任意的，的圖象恒在圖象的上方，求實數a的取值菹圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）由題意得在恒成立，令，則需求出函數的最小值即可，但由于的零點不易求出，故通過再次求導的方法逐步求解，進而求得的最小值．

（1）當時，，

∴，

∴，

又，

∴函數在點處的切線方程為，

即．

（2）由題知當時，恒成立，

即當時，恒成立，

等價于在恒成立．

令，

則，

令，則，

∴在上單調遞增，且，

存在唯一零點，

使得，

且當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．

∴．

由，得，

∴，

即．

設，則,

∴在單調遞增．

∴，

∴，

∴ ,

∴．

∴．

故實數的取值范圍為．