Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=2Sn﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求證：數列{an}為等比數列；
（Ⅱ）若bn=（2n+1）an ， 求{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足an=2Sn﹣1（n∈N*）， 當n=1時，a1=2S1﹣1=2a1﹣1，解得a1=1，
當n≥2時，由an=2Sn﹣1，①，得an﹣1=2Sn﹣1﹣1，②，
①﹣②，得：an﹣an﹣1=2an ， 整理，得an=﹣an﹣1 ，
∴{an}是首項為1，公比為﹣1的等比數列．
解：（Ⅱ）∵{an}是首項為1，公比為﹣1的等比數列，
∴ ，
∴bn=（2n+1）an=（2n+1）（﹣1）n﹣1 ，
∴{bn}的前n項和：
Tn=3（﹣1）0+5（﹣1）+7（﹣1）2+…+（2n+1）（﹣1）n﹣1 ， ①
﹣Tn=3（﹣1）+5（﹣1）2+7（﹣1）3+…+（2n+1）（﹣1）n ， ②
①﹣②，得：2Tn=3+2[（﹣1）+（﹣1）2+（﹣1）3+…+（﹣1）n﹣1]﹣（2n+1）（﹣1）n
=3+2× ﹣（2n﹣1）（﹣1）n
=（2n+2）（﹣1）n﹣1+2，
∴Tn=（n+1）（﹣1）n﹣1+1=1﹣（n+1）（﹣1）n
【解析】（Ⅰ）an=2Sn﹣1（n∈N*），推導出a1=1，an=﹣an﹣1 ， 由此能證明{an}是首項為1，公比為﹣1的等比數列．（Ⅱ）由 ，得bn=（2n+1）an=（2n+1）（﹣1）n﹣1 ， 由此利用錯位相減法能求出{bn}的前n項和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．