Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，A＝4.

(1)證明：；

(2)求二面角的余弦值大小．

Answer 1

【答案】⑴見證明；⑵

【解析】

（1）根據(jù)AC，BC，CC1兩兩垂直，建立如圖以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，寫出要用的點的坐標(biāo)，根據(jù)兩個向量的數(shù)量級等于0，證出兩條線段垂直．

（2）根據(jù)所給的兩個平面的法向量一個可以直接看出另一個設(shè)出根據(jù)數(shù)量級等于0，求出結(jié)果，根據(jù)兩個平面的法向量所成的角求出兩個平面所成的角．

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC，BC，CC1兩兩垂直．

如圖以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，則C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）． …（2分）

證明：（1）∵=（﹣3，0，0），=（0，﹣4，4），

∴=0，

故AC⊥BC1…（4分）

解：（2）平面ABC的一個法向量為=（0，0，1），

設(shè)平面C1AB的一個法向量為=（x，y，z），

=（﹣3，0，4），=（﹣3，4，0），

由得：…（6分）

令x=4，則z=3，y=3則=（4，3，3）．…（7分）

故cos＜，＞==．

即二面角ABC的余弦值為.