Question

【題目】已知邊長為2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E為DC的中點，如圖1所示，將△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：△PAB為直角三角形；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵邊長為2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E為DC的中點，如圖1所示， ∴BE⊥DC，AB∥CD，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，
∵將△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如圖2所示．
在翻折過程中，∠ABE=90°不變，
∴在△ABP中，∠ABP=90°，
∴△PAB為直角三角形．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠BED=∠ABE=90°，∴DE⊥BE，
以E為原點，ED為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標系，
A（2， ，0），P（0，0，1），D（1，0，0），E（0，0，0），
=（﹣1，0，1）， =（1， ，0）， =（0，0，1）， =（1，0，0），
設平面ADP的法向量 =（x，y，z），
則 ，取x= ，得 =（ ），
平面PDE的法向量 =（1，0，0），
設二面角A﹣PD﹣E的平面角為θ，
則cosθ= = = ，
∴二面角A﹣PD﹣E的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出BE⊥DC，AB∥CD，從而AB⊥BE，進而∠ABE=90°，將△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，在翻折過程中，∠ABE=90°不變，由此能證明△PAB為直角三角形．（Ⅱ）以E為原點，ED為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣E的余弦值．
【考點精析】利用直線與平面垂直的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于同一個平面的兩條直線平行．